4차원을 나타낼 수 있다.

4차원과 고차원을 나타내는 방법

차원이란 공간과 시간이 결합된 존재이다. 물론 하나의 공간만을 지닌 정체된 물체를 가정할 수는 있다. 그러나 그 물체를 가정하기 위해서는 그 배경이 필요하고 그 배경은 필연적으로 시간을 갖고 있을 수밖에 없다. 따라서 차원이란 공간과 시간을 지녔다고 볼 수 있다.
예를 들어, 증가하는 선은 2차원이라고 볼 수 있다. 따라서 증가하는 선은 면으로 투영이 될 수가 있다. 여기서 증가하는 선은 그 자체로 시간을 지녔다고 볼 수 있지만 면은 정체되어있다고 볼 수 있다. 그러나 면은 아무 배경 없이 혼자서 존재할 수 없다. 따라서 증가하는 면이라는 배경 하에서 존재할 수 있기 때문에 면은 시간을 가진 차원 하에서 존재할 수 있다. 즉 차원이란 시간과 별개로 생각할 수 없는 것이다.
한 가지 더 예를 들자면 우리 몸은 3차원이다. 그러나 우리는 발산하는 입체에서 살고 있다. 따라서 우리가 살고 있는 차원은 4차원인 셈이다. 그런데 시간을 지닌 공간에서 살다보니 우리는 변화를 가질 수 있다. 상호작용을 하고 발전을 한다. 따라서 우리 몸이 3차원일지라도 배경인 4차원의 영향을 받으므로 3차원과 시간을 독립하여 생각할 수 없다.
여기서 발산하는 1차원은 2차원의 면에 투영이 되고 발산하는 2차원은 3차원의 입체에 투영이 된다고 볼 수 있는데 그렇다면 발산하는 3차원은 4차원에 투영이 된다고 볼 수 있을 것이다. 그렇다면 4차원의 존재란 필연적인 것이고 만약 발산하는 4차원을 만든다면 그 위의 차원도 가정할 수 있을 것이다. 그렇다면 그 위의 차원에 대해서는 어떻게 표현을 할 수 있을까.
먼저 0,1,2,3차원에 대한 성질을 짚어봐야 한다. 차원이 한 단계씩 발전한다는 가정 하에 차원들은 연역적인 성격을 띨 것이기 때문이다. 따라서 0차원에 대해서 보자면 0차원이란 점을 가리킨다. 점을 표현하는데는 길이와 각도가 필요가 없다. 기준이 자기 자신이기 때문에 길이를 잰다 할지라도 0에 가까운 공간을 지닐 것이고 각도는 정해지지 않은 각도를 가질 것이기 때문이다. 따라서 0차원은 0의 길이와 정해지지 않는 각도를 갖는다고 볼 수 있다.
또한 0차원에서는 아무 것도 보이지 않는다. 1차원에서는 점을 볼 수 있고 2차원에서는 선을 볼 수 있다. 그리고 3차원에서는 면을 볼 수 있는데 연역적으로 보았을 때 어떤 차원에서는 한 단계 낮은 차원의 물체만을 볼 수 있다는 것을 알 수 있다. 그런데 0차원보다 낮은 차원은 생각하기 힘들다. 따라서 어떤 차원에서는 한 단계 낮은 차원을 본다고 가정할 때 0차원에서는 아무 것도 볼 수 없다고 볼 수 있다.
1차원은 선을 가리킨다. 선은 표현하기 위해서는 하나의 길이는 필요하지만 각도는 필요하지 않다. 선 안에 있다고 가정할 때 앞의 점과 나의 거리는 측정할 수는 있지만 앞의 점과 나의 각도는 측정하는 것이 의미가 없기 때문이다. 그리고 선 안에서는 선을 정의하는 것이 가능하다. 그러나 1차원에서는 오직 점만을 볼 수 있다. 따라서 1차원에서 선을 정의하기 위해서는 시간을 가지고 그 공간을 이동했을 때 가능하다.
2차원은 면을 가리킨다. 면은 하나의 길이와 하나의 각도로 표현할 수가 있다. 면 안에는 수많은 선들이 존재하는데 이 선들의 관계를 나타내는데, 선들의 기울기를 표현할 때 각도가 필요하다고 볼 수 있다. 면에서는 오직 선만을 볼 수 있다. 그런데 면에서도 시간을 가지고 선들을 관찰하면 그 선들을 바탕으로 면을 정의할 수 있다.
3차원은 입체를 가리킨다. 입체를 표현하기 위해서는 하나의 길이와 두 개의 각도가 필요하다. 입체에는 수많은 면들이 존재한다. 이 면들의 관계를 표현하기 위해서는 각도가 필요하다. 또한 면이 갖는 기울기를 나타내기 위해서 각도가 필요하다고 볼 수 있다. 또한 입체에서는 면만을 볼 수 있는데 입체에서 시간을 가지고 면들을 관찰한다면 입체를 정의하는 것이 가능하다.
다음으로, 점, 선, 면, 입체를 정의하겠다. 선은 셀 수 없는 점으로 이루어진 공간이다. 그리고 면은 셀 수 없는 선으로 이루어진 공간이고 입체란 셀 수 없는 면으로 이루어진 공간이다. 그런데 선이 셀 수 없는 점으로 이루어진 공간이기 때문에 상대적으로 점은 셀 수 있는 점으로 이루어진다는 것을 알 수 있다. 또한 셀 수 있다는 것은 등차수열로 증가한다는 것을 의미한다. 따라서 선은 n개의 점으로 이루어져 있고 면은 n개의 선으로 이루어진다는 것을 알 수 있고 입체는 n개의 면으로 이루어진다는 것을 알 수 있다. 또한 점을 n^2개로 증가시키면 면이 되고 n^3으로 증가시키면 입체가 된다는 것을 알 수 있다. 그러나 고정된 선 위에 n^2을 표현하는 것이 형식적으로는 불가능하고 고정된 면 위에 n^3을 표현하는 것이 불가능하기 때문에 점 다음에는 반드시 선이 와야 하고 선 다음에는 면이 와야 하고 면 다음에는 입체가 와야 한다.
그리고 선은 점에 둘러싸인 공간이고 면은 선에 의해 둘러싸인 공간이고 입체는 면에 의해 둘러싸인 공간이다. 따라서 어떤 차원은 그 차원보다 낮은 차원에 의해 둘러싸여 있다고 가정할 수 있다. 따라서 입체보다 더 높은 차원은 입체로 둘러싸여 있다고 볼 수 있다. 그런데 면은 하나의 선으로 둘러싸여 있고 입체는 하나의 면으로 둘러싸여 있다. 따라서 선도 하나의 점으로 둘러싸여 있다고 가정해야 할 것이다. 그러나 일반적으로 선은 두 개의 포인트를 갖는다. 그렇다면 이 모순을 어떻게 해결해야 할까.
먼저, 점에서 선으로 진화하는 과정을 알아야 한다. 점은 셀 수 있는 점으로 이루어 진다. 따라서 셀 수 있는 점들을 분산시킬 경우 두께는 점으로써 0으로 수렴하지만 길이는 존재하는 선이 만들어 진다. 또한 선은 하나의 점에서 나왔다고 볼 수 있으므로 선의 두 포인트는 하나의 점에서 나왔다고 볼 수 있다. 따라서 선은 하나의 점에 의해 둘러싸여 있다고 볼 수 있다.
두 번째로 점을 셀 수 있는 점에 의해 둘러싸여 있다고 가정하면 점을 자르고 자르면 하나의 점만 남아야 할 것이다. 그런데 그렇게 되면 기존에 점을 셀 수 있는 점으로 구성되어 있다고 한 정의가 무너지게 된다. 또한 점을 셀 수 있다고 가정할 경우 점의 unit을 정의하는 것이라고 볼 수 있다. 그런데 어떤 차원의 unit이란 그 밑의 차원의 unit들이 발산하여 가능한 것이다. 예를 들어, 선이 무수히 많이 존재하면 이를 가지고 하나의 면을 만들 수 있고 면이 무수히 많이 존재하면 이를 가지고 하나의 입체를 만들 수 있다. 따라서 0의 unit을 정의하는 것은 0보다 밑의 차원을 정의하는 것과 같다. 그런데 우리는 0보다 낮은 차원은 생각하기 힘들다.
따라서 우리는 점이 셀 수 있는 숫자의 점으로 구성되어 있되 실제로 점을 셀 수는 없다고 해야 한다. 그러기 위해서는 점이 셀 수 없도록 진동한다고 가정해야 한다. 하나 둘 셀 수도 없고 잡아놓고 쪼갤 수 없도록 점이 진동한다고 가정해야 우리가 점을 바르게 정의할 수 있다. 또한 우리를 3차원이라고 가정할 때 우리 몸은 n^3개의 점으로 구성되어 있다고 볼 수 있다. 그런데 원점에는 셀 수 있는 점이 있다고 가정했다. 그런데 우리 몸은 셀 수도 없고 선보다 2단계나 높은 차원을 갖고 있다. 그러면 어떻게 원점에서 3차원으로 진화했다고 가정해야 할까.
점이 진동한다고 가정했다. 그렇다면 점이 진동하는 것을 일종에 발산한다는 개념으로 보아야 할 것이다. 따라서 점이 진동하여 선을 만들고 선이 진동하여 면을 만들고 면이 진동하여 입체를 만든다고 가정해야 할 것이다. 차원은 반드시 한 단계씩 증가할 수밖에 없기 때문이다. 예를 들어서 차원의 수는 함수의 변수 수와 일치한다고 볼 수 있는데, 치역을 포함한 함수의 변수들이 정의역으로써 작용을 해야 한 단계 높은 차원의 치역을 만들 수 있다. 그런데 여기서 두 단계 높은 차원의 치역은 만들 수 없다. 함수는 하나의 치역만을 갖기 때문이다. 따라서 차원은 반드시 한 단계씩 증가한다고 볼 수 있고 따라서 점이 진동하여 더 높은 차원을 만들 때는 반드시 한 단계씩 증가한다고 볼 수 있고 그 과정은 위에서 정의했듯이 n의 속도로 발산하는 과정이라고 볼 수 있다.
여기서 차원의 진화 과정을 정확하게 따져보자면 다음과 같다고 볼 수 있다. 먼저 선에 있어서 점은 0과 같다고 볼 수 있다. 여기서 0이란 실제 아무 것도 없다는 것이 아니라 0에 수렴한다는 것이다. 그리고 0에 수렴한다는 것은 점이 lim1/n에 수렴한다는 것을 가리킨다. 선은 셀 수 없는 n개의 점에 의해 만들어지기 때문이다. 따라서 하나의 unit의 선은 lim1/n이 n개 존재함으로써 만들어지고 2 unit의 선은 2n개의 점에 의해 구성된다는 것을 알 수 있다.
또한 면은 셀 수 없는 선에 의해 구성된다고 하였다. 따라서 선은 lim1/n과 같다고 볼 수 있고 이 선이 n개 존재하면 unit 1의 면을 만들 수 있고 2n개 존재하면 unit2의 면을 만든다고 볼 수 있다. 또한 면에서 입체로 가는 과정도 같다고 볼 수 있다. 입체의 입장에서 lim1/n에 해당하는 면들이 n개 존재함으로써 unit1의 입체를 만들고 2n개 존재한다면 unit2를 만들 수 있다.
이 과정을 가시적으로 나타낸다면 다음과 같다. 먼저 n의 속도로 발산하는 선을 가정하자. 그리고 이 선을 선의 단위로 unit2씩 나눈다고 가정하자. 그러면 이 선이 n/2개가 생길 것이다. 그리고 n/2에 해당하는 선들의 포인트들은 1/2unit의 선을 만들 것이다. 그러면 가로 길이가 선의 단위로 unit2이고 세로 길이가 선의 단위로 unit1/2인 면이 만들어 질 것이다. 그리고 이 선들을 직사각형 형태로 쌓았다고 가정했을 때 이 면의 넓이는 1이 된다. 따라서 n의 속도로 발산하는 선은 unit1의 면을 만든다고 할 수 있다.
이 과정은 면이 입체로 넘어갈 때도 똑같이 적용된다. 첫 번째로 n의 속도로 발산하는 면을 가정한다. 그리고 이 면을 unit2씩 나눈다. 그러면 이 면들이 n/2개가 생길 것이다. 그러면 이 면들을 세로로 세운다. 그러면 n/2개의 면들의 경계선들이 높이를 이룰 것이다. 그리고 이 경계선들은 모여서 1/2unit의 면을 구성할 것이다. 그러면 여기서 이 입체가 직육면체라고 가정하자. 그러면 높이가 1/2이고 밑면적은 2인 직육면체가 만들어 질 것이다. 따라서 n의 속도로 발산하는 면은 unit1의 입체를 만든다고 할 수 있다.
그런데 한 가지 모순되는 것이 있다. n의 속도로 발산하는 점들은 unit1을 만들고 2n의 속도로 발산하는 점들은 unit2를 만든다고 정의했다. 그런데 unit2를 만들기 위해서는 unit2를 먼저 만들고 unit2를 만들어야 한다. 그렇다면 unit1을 만들 때까지는 n의 속도를 갖다가 unit 2를 만들 때는 2n의 속도를 갖는다는 것인가. 또한 2n의 속도로 발산하는 점들과 n의 속도로 발산하는 점들의 개수가 같다. 그렇다면 긴 선일수록 빈 공간이 많다는 것인데 이는 상식적으로 이해가 되지 않는다. 따라서 모순이 생긴다고 볼 수 있다. 그러나 이 문제에 대해서는 다음과 같이 생각할 수 있다.
첫 번째로, 범위를 정하는 것이다. 즉 선분의 마지막 점을 정의해 놓고 점들을 발산시키는 것이다. 그러면 처음부터 시작했을 때 범위가 정해져 있기 때문에 점들이 일정한 속도로 증가될 수가 있다. 또한 마지막 점이란 일종의 수렴의 개념이라고 볼 수 있는데 n의 개수의 어떤 차원은 반드시 그 위의 차원에 unit으로 투영이 되므로 발산을 수렴의 개념으로써 쓸 수가 있다. 뿐만 아니라 선분이 수많은 점으로 이루어져 있다는 것은 선을 쪼개는 개념이지 점을 발산시키는 개념이 아니다. 따라서 일단 점을 정의해놓는 것은 고차원적으로 선을 정의하는 것이라고 볼 수 있다.(여기서 선을 나누고 나누어 점의 unit을 찾는다면 점들을 셀 수도 있다. 그러나 점의 unit은 가정할 수 없기 때문에 점들이 진동하여서 셀 수가 없고 따라서 선은 셀 수 없는 점으로 이루어진다고 보아야 한다.)
두 번째로, 원점에서 증가하는 점들을 2개의 점으로 구분을 한다. 그러면 하나는 n의 속도로 증가하고 다른 하나도 n의 속도로 증가할 것이다. 그러나 위치가 다르다. 하나는 시작점에서 출발하지만 나머지 하나는 첫 번째 점이 더 높은 차원에서 수렴하는 점에서 시작하는 것이다. 그러면 첫 번째 점들의 자취는 unit1을 만들 것이고 두 번째 점들의 자취는 unit2를 만들 것이다. 그러면 점들이 혼돈되지 않고 unit2를 만들 수 있다. 물론 이 같은 방법으로 더 높은 unit도 만들 수 있다. 여기에서의 방법은 수렴한 선을 쪼개어 점을 만드는 개념이 아니라 점들을 발산시켜 선을 만드는 개념이기 때문에 저차원에서 바라본 방법이라고 할 수 있다. (여기서 점이 개수가 n개도 되고 2n개도 되는가에 대한 질문이 나올 수 있는데 점들이 진동하기 때문에 이 점은 증분될 수가 있다. 따라서 점은 셀 수 있는 점으로 이루어지지만 진동하여 증분될 수 있기 때문에 무수히 많은 점이 될 수도 있는 것이다.-이는 한차례 높은 차원에서 바라보았을 때 가능한 것이다. 저차원에서는 진동할지라도 한 개로 밖에 보이지 않는다.)
그리고 차원이란 시간과 공간이 결합된 존재라고 정의했었다. 여기서 왜 시간이 공간에 꼭 따라다녀야 하는지에 대해 부연설명을 하겠다. 점이 선이 되기 위해서는 발산 개념이 필요하다. 셀 수 없는 점에 의해서 선이 구성되므로 선은 n의 속도로 발산하는 점들에 의해 구성된다고 볼 수 있다. 그리고 선이 면이 되기 위해서도 n의 속도로 발산하는 선들이 필요하다. 또한 면이 입체가 되기 위해서도 n의 속도로 발산하는 면들이 필요하다. 그런데 발산한다는 것은 시간 개념이다. 우리가 가시적으로 고정시켜 놓을 수 있는 개념이 아니라 어떤 속도를 가지고 끊임없이 증가했을 때 가능한 것이기 때문에 차원이 한 단계씩 증가한다고 가정했을 때 시간은 반드시 존재한다고 가정할 수 있다.
이제 차원에 대한 개략적인 성질들을 알았다고 볼 수 있다. 그런데 한 가지 주목할 것이 있다. 발산하는 선을 2차원으로 만들 때 선을 나누어서 세로로 쌓았었다. 그리고 발산하는 면을 3차원으로 만들 때 면으로 나누어서 높이로 쌓았었다. 그런데 세로로 쌓는 다는 개념이나 높이로 쌓는다는 개념은 모두 한 차원 높은 곳의 각도를 가졌을 때 가능한 것이다. 예를 들어 단순히 선이 일직선으로 발산한다면 이는 면을 만들 수 없다. 물론 선이 일직선으로 발산한다는 개념 자체도 2차원 면에서나 가능한 개념이다. 따라서 차원은 고차원의 각도를 갖고 있되 내가 있는 차원에서는 그 각도를 느끼지 못한다고 정의해야 한다. 예를 들어 내가 1차원에 있으면 앞 뒤만 있기 때문에 2차원의 각도를 체감하지 못하지만 분명 2차원의 각도가 존재하기 때문에 내가 앞 뒤로 전진할 수 있는 것이다.
따라서 1차원은 정해지지 않은 2차원의 각도를 지니고 2차원은 정해지지 않은 3차원의 각도를 지닌다고 볼 수 있다. 따라서 1차원을 정의하면 (길이, 정해지지 않은 각도)이고 2차원을 정의하면 (길이, 각도, 정해지지 않은 각도)로 표현할 수 있을 것이다. 그런데 발산하는 면을 입체에 투영을 할 때 면에 있던 1차원적인 요소들도 같이 투영이 된다. 따라서 1차원을 3차원에 투영하는 것이 가능하고 (길이, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)로 투영할 수 있다. 단, 3차원의 1/nunit은 면의 하나의 unit이므로 1차원의 하나의 unit은 3차원 단위의 1/n^2로 투영이 된다는 것을 알 수 있다.(선에서 n^2 개념을 나타내는 것은 형식적으로 불가능하지만 입체에서 n^2개념을 나타내는 것은 가능하다. 따라서 선에 입체는 투영이 되기 힘들지만 입체에 선을 0으로써 투영하는 것은 가능하다.)
또한 3차원의 1/nunit은 하나의 면의 단면으로써 우리 시각에 보인다. 그러나 1/n^2은 0에 수렴하는 단면이기 때문에 보이지 않는다. 따라서 3차원에서는 선이 보이지 않고 2차원에서는 점이 보이지 않는다. 또한 0에 수렴하는 개념이기 때문에 보이지는 않지만 그렇다고 존재하지 않는다고 할 수는 없는 존재로써 1차원은 3차원에 투영이 될 것이다. 또한 0에 수렴하는 면의 단면이라고 정의할 때의 0과 점을 0으로써 정의할 때의 0은 같은 성질을 띤다고 볼 수 있다. 똑같이 n의 속도로 증가하여 고차원 unit을 만들기 때문이다. 따라서 3차원에서 1차원 선을 바라 볼 때는 진동하는 점으로써 보인다고 할 수 있다. 그리고 여기서 선이 아니라 점인 이유는 선이란 2차원에서 볼 수 있는 개념이다. 따라서 1차원에서의 선은 그 위의 차원에서는 선의 꼴을 띈다고 볼 수 없다. 선이 규정되지 않은 2차원의 각도로 투영이 된다고 가정할 때 확률적으로 원의 꼴을 띨 확률이 높고 정해지지 않은 3차원 각도까지 갖는다고 정의할 때는 확률적으로 구의 꼴을 띨 확률이 높다는 것을 알 수 있다.
여기서 흥미로운 것은 우리는 지금 전자 세계를 규정하기 위해서 10차원까지 사용한다는 것이다. 그런데 나의 틀을 이용하면 전자는 2차원 세계이다. 일단 전자는 눈에 보이지 않는다. 그리고 전자는 왼쪽 방향으로 일정하게 회전한다. 그리고 전자는 진동하는 것으로 보인다. 따라서 전자는 1차원 선이 우리 세계에 투영된 결과이지 절대 우리 세계보다 높은 개념이 아니다.
이제까지 0,1,2,3차원의 성질과 0,1,2,3차원이 진화하는 과정에 대해서 알아보았다. 그런데 0, 1,2,3,차원에 있다고 가정했을 때 그 차원의 배경이나 성질은 어떨까. 일단 차원의 배경을 보자면 내가 1차원 안에 있다고 가정했을 때 1차원의 배경은 증가하는 직선이다. 이 직선이 2차원에서 어떻게 투영될지는 모르지만 1차원 안에서 가정했을 때는 직선의 형태라고 볼 수 있다. 그리고 이 직선은 일정한 속도로 증가하는데 이 속도는 n의 꼴을 띈다고 볼 수 있다. 그리고 여기서 a×n의 꼴로 표현하지 않은 이유는 위에서의 표현으로 나타낼 수 있다. 선을 n개의 점들로 나눌 때 여기서 n의 점들이란 저차원에서 보았을 때는 n의 속도로 증가하는 unit n들의 점이라고 볼 수 있다. 따라서 속도를 n이라고 나타낼 수 있는 것이다.(만약 고차원에서 바라본다면 unit2는 2n의 속력을 갖는다고 볼 수 있지만 저차원에서 바라본다면 무조건 n으로밖에 보이지 않는다. 그 이유는 unit2가 시작되는 점은 고차원에서 정의 가능한 점이기 때문에 저차원에서는 보이지 않기 때문이다)
두 번째로 2차원의 배경은 증가하는 원이라고 볼 수 있다. 내가 2차원 세계에 있다고 가정할 때 내 앞에는 끝없이 증가하는 선이 보일 것이다. 그리고 이 선들이 증가하는 속도는 역시 n이라고 볼 수 있다. 여기서 n의 속도로 증가하는 면은 1차원의 배경이 n의 속도로 증가하는 선인 것에서 유추했다고 볼 수 있다. n의 속도로 증가하는 것은 unit1을 만들지만 상대적으로 unit2를 만들기도 한다. 단, 이는 고차원에서 투영했을 때의 이야기이다. 만약 저차원에서 본다면 제일 빠른 속도는 n일 뿐이다. 이 n의 속도로 증가하는 점들이 고차원에서는 unit1을 만들기도 하고 unit 2를 만들기도 하는 것이다. 예를 들어 위에서 두 가지 점을 정의했었다. 하나는 원점에서 시작하여 n의 속도로 unit1을 만들고 다른 하나는 첫 번째 점이 수렴하는 곳에서 unit2를 만든다고 가정했었다. 그런데 이를 고차원에서 바라보면 unit 1을 만들 때와 unit2를 만들 때의 속력이 다르지만 저차원에서 바라보면 둘의 속도가 같게 보이는 것이다. 고차원으로 바라보았을 때는 선을 a×n개의 점으로 나누는 개념이지만 저차원에서는 점이 하나의 속도로 나아가는 것이기 때문이다.
우리 세계에서 제일 빠를 속도는 광속이라고 할 수 있다. 따라서 이 광속이 우리 세계에서는 n에 해당하는 것이고 이 n이 4차원에 투영이 되었을 때는 unit1도 가능하고 unit2도 가능한 것이다. 단, 우리 세계에서는 그것을 보지 못할 뿐이다. 예를 들어 n의 속도로 나아가는 점 앞에 항상 n의 속도로 나아가는 어떤 점이 있다고 가정하자. 그러면 이는 4차원에 투영되었을 때 하나는 unit1을 만들고 하나는 unit2를 만들 것이다. 그런데 이를 저차원에서 바라보았을 때는 두 점 모두 n의 속도로 보일 것이다. 또한 부가설명을 하자면 광속으로 나아가는 점은 우리 차원에서는 일정하지만 고차원에서 바라보았을 때는 unit에 따라 달라진다는 것이다. 따라서 4차원 세계에서 바라보면 unit2는 3차원이 2n개 있다는 것이고 unit3은 3차원이 3n개 있다는 것이다.
세 번째로 3차원 입체가 존재하는 배경은 무한히 증가하는 구의 꼴이라고 볼 수 있다. 따라서 우리는 입체에 무한히 증가한다는 시간을 더한 4차원 세계에 존재한다고 볼 수 있다. 물론 여기서도 3차원은 n의 속도로 증가한다. 그리고 3차원에서의 n의 속도로 증가하는 점들은 4차원에서는 2n으로도 투영이 될 수 있고 따라서 unit2가 될 수도 있는 것이다.
그런데 이처럼 1차원의 배경이 선이고 2차원이 배경이 증가하는 원이고 3차원의 배경이 증가하는 구인 이유는 무엇일까. 첫 번째로 1차원의 배경이 선인 이유는 필연적이다. 앞뒤로만 움직일 수 있기 때문이다. 두 번째로 2차원의 배경이 원인 이유 역시 필연적이다. 1차원의 선은 정해지지 않은 2차원의 각을 지닌다고 가정했다. 그런데 정해지지 않았다는 것은 확률적으로 모든 각도에 있다는 것과 같다. 따라서 증가하는 1차원을 2차원에 투영시켰을 때 선은 확률적으로 원의 꼴을 띨 것이다. 따라서 2차원의 기본형이 원이라는 것을 알 수 있다. 그리고 원점으로부터 n의 속력으로 점들이 나아간다고 정의했었다. 그러면 이 점들은 모든 2차원의 각도로 나아갈 것이다. 그러면 이 점들이 모여서 하나의 선을 만들 수 있다. 그리고 면이란 하나의 선으로 둘러싸인 공간이고 또한 이 선이 원점으로부터 같은 거리를 유지하고 있기 때문에 이를 원이라 할 수 있다. 따라서 증가하는 2차원은 2차원에서 원의 꼴을 띤다.
이번엔 3차원의 배경이 구인 것에 대해서 설명하겠다. 1차원의 선은 잠재적으로 3차원의 각도를 갖고 있다고 가정했다. 따라서 1차원 선을 3차원에 투영하는 것이 가능한데 1차원의 선이 정해지지 않은 3차원의 각을 갖고 있기 때문에 확률적으로 이 선은 구의 꼴을 띨 수밖에 없다. 따라서 이 구는 3차원의 기본형이라고 볼 수 있다. 또한 2차원 면을 보아도 마찬가지인데 2차원 면은 정해지지 않은 3차원 각을 갖고 있다. 따라서 이 면은 모든 각도의 3차원 각을 갖고 있다고 볼 수 있고 따라서 이 면은 확률적으로 구가 된다. 그리고 3차원에서는 원점으로부터 점들이 모든 3차원 각도로 n의 속도로 일정하게 증가하기 때문에 이들은 구를 만들게 된다.
이제 차원들의 배경에 대해서 정의를 내렸다. 여기서 증가하는 선은 2차원을 만들고 증가하는 면은 3차원을 만들 수 있다. 따라서 증가하는 선은 2차원이고 증가하는 면은 3차원이라고 가정할 수 있다. 그리고 증가하는 입체는 연역적으로 4차원이라고 할 수 있다. 그리고 1차원의 배경은 2차원이고 2차원의 배경은 3차원이고 3차원의 배경은 4차원이기 때문에 역으로 어떤 차원이 존재하기 위해서는 한 차원 높은 차원의 배경을 가져야 한다는 것을 알 수 있다. 그리고 4차원에서는 3차원이 존재할 수 있고 3차원에서는 2차원이 존재할 수 있고 2차원에서는 1차원이 존재할 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 어떤 차원에서는 그보다 한 단계 낮은 차원만이 보인다고 할 수 있다.
예를 들어, 3차원 입체가 존재한다고 가정하자. 그러면 이 3차원 입체에서는 면만을 볼 수 있다. 그리고 2차원 면에서는 선만을 볼 수 있다. 여기서 ‘만’이란 표현을 한 이유는 3차원에서는 선을 볼 수 없고 2차원에서는 점을 볼 수 없기 때문이다. 첫 번째로 선은 두께가 점과 같다. 그리고 점은 단면이 0에 수렴한다고 볼 수 있다. 또한 3차원의 단면은 면인데 선은 0에 수렴하는 면이라고 가정할 수 있다. 따라서 3차원에서는 단면이 0인 면을 볼 수 없다. 그리고 2차원에서는 단면이 선인데 점은 0에 수렴하는 단면이다. 따라서 점을 볼 수가 없다.
두 번째로 3차원이 증가하는 면이라고 가정하자. 그러면 이 면은 입체의 성격을 띤다. 그리고 이 면 위의 선은 증가하는 선이므로 면의 성격을 띤다고 볼 수 있다. 그러면 상대적으로 점은 선의 성격을 띨 것이다. 그러면 입체에서는 선을 보지 못하므로 증가하는 면이라고 3차원을 가정했을 때도 3차원에서는 점을 보질 못한다. 물론 2차원을 증가하는 선이라고 가정했을 때도 마찬가지이다. 따라서 3차원에서는 면밖에 보질 못하고 2차원에서는 선밖에 보질 못한다는 것을 알 수 있다.(발산하는 면에서의 선은 시간을 갖기 때문에 면의 꼴을 지니다고 볼 수 있다. 예를 들어 선을 움직인다면 그 자취를 면이라고 볼 수 있다.)
이처럼 차원은 연역적인 성격을 띠고 , 저차원에서는 고차원의 형태를 정의하기 힘들고 고차원에서는 저차원을 보지 못한다는 성격을 띤다. 또한 저차원은 발산했을 때 고차원이 되므로 차원이 증가한다고 가정할 경우 시간 개념은 필수적이라는 것을 알 수 있다. 그런데 차원에 함수를 나타낸다고 할 때 함수는 어떻게 표현이 될까.
먼저, 0차원에서는 함수를 표현할 수 없다. 1차원에서의 함수의 형태는 점이고 2차원에서의 함수의 형태는 선이다. 그리고 3차원에서의 함수의 형태는 면이라고 볼 수 있는데 따라서 0차원에서의 함수의 형태는 아무것도 없는 것이라고 할 수 있다. 점보다 작은 형태는 정의할 수 없기 때문이다. 단, 0차원 자체를 하나의 점이라고 가정하고 3차원으로 투영할 수가 있는데 (0,정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)라고 할 수 있다. 그리고 0차원의 함수는 아무것도 없기 때문에 0차원을 표현하기 위한 축의 개수도 0개라고 할 수 있다.
그리고 1차원에서는 점의 형태를 갖는 함수를 정의할 수 있다. 그런데 여기서의 함수는 정의역과 치역이 같은 상수 함수이다. 그리고 1차원을 정의하기 위해서는 하나의 축이 필요하다. 그리고 1차원의 치역을 나타내거나 1차원의 어떤 점을 3차원에 나타내기 위해서는 (길이, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)라는 꼴이 필요하고, 1차원을 정의하기 위한 축 역시 그 위의 차원에 가면 직선이라는 형태를 유지할 수 없다.
그리고 2차원에서는 선의 형태를 갖는 함수를 정의할 수 있다. 여기서의 함수는 하나의 정의역과 하나의 치역을 갖는다. 그리고 2차원에서 함수를 나타내거나 2차원에서의 면을 3차원에 나타내기 위해서는 (길이, 각도, 정해지지 않은 각도)의 꼴이 필요하다는 것을 알 수 있다. 그리고 2차원의 두 축을 이용한 면 역시 3차원에 가면 원래 꼴을 유지할 수 없다. 그리고 축으로 표현했을 때도 중요한 것은 원점이지 축이 아니기 때문에 두 축이 이루는 도형은 정사각형이 아니라 원이라고 볼 수 있다.
그리고 3차원에서는 면의 형태를 갖는 함수를 정의할 수 있다. 여기서의 함수는 2개의 대등한 정의역과 하나의 치역을 갖는다. 이 함수를 나타내거나 3차원에서의 어떤 모형을 나타내기 위해서는 (길이, 각도, 각도)의 꼴이 필요하다는 것을 알 수 있다. 그리고 3차원에서 중요한 것은 원점과 갖는 3차원의 각도와 길이이기 때문에 여기서의 배경은 구의 꼴이라고 할 수 있다.
이때까지 0,1,2,3,차원을 알아보았다. 여기서 중요한 것은 차원들의 연역적 성격들을 추론하는 것이었다. 그리고 그 차원들은 연역적인 성격을 띠고 그 다음 차원으로 발전한다는 것까지 알게 되었다. 여기에 덧붙여 한 가지 더 강조하자면 0에서 1차원으로 진화하는 과정이다. 0차원에는 셀 수 있는 점들이 진동하고 있는 상태로 존재한다. 그리고 0차원에서 점이 진동하는 것은 고차원에서 그것을 고정시켜서 셀 수 없게 만듦으로써 고차원에서 unit을 쪼개고 쪼개면 0이 되지 않고 저차원에서의 unit을 만들 수 있게 한다. 만약 진동하지 않아서 셀 수 있다면 쪼개고 쪼개다 보면 언젠가는 0이 되버리기 때문이다. 그리고 정해진 unit 안에 발산하는 점을 가정하는 것은 진동한다고 가정하는 방법밖에 없다. 따라서 진동한다는 것은 발산한다는 것과 개념이 같다고 볼 수 있고 따라서 진동하는 것 자체가 0차원에서 무수히 많은 점들을 만들어내게 한다. 그리고 1차원에서 2차원 unit을 만드는 것도 같은 원리라고 볼 수 있다.
따라서 고차원에서 저차원을 바라보았을 때는 보이지 않는 어떤 진동하는 unit으로 보이고 저차원에서는 고차원을 발산함으로써 가능한 존재로 볼 수 있는 것이다. 이런 점에서 진동한다는 것이 발산한다는 것과 개념이 같다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 3차원에서 1차원을 정의할 때는 진동하는 어떤 것이라고 가정할 수 있고 3차원에서 4차원을 정의할 때는 3차원이 발산함으로써 가능한 어떤 것이라고 가정할 수 있는 것이다.
이제 0,1,2,3차원에 대한 성질과 진화 과정 등을 보았다. 그리고 이들의 연역적인 성격들로 미루어보아 이들보다 높은 차원들을 얼마든지 만들 수 있다는 것도 추정할 수 있다. 예를 들어, 차원이란 함수로 변환이 가능한데 1차원은 변수가 하나인 함수이고 2차원은 변수가 2개인 함수이다. 따라서 어떤 차원의 변수들을 상호작용하게 만들면 그보다 높은 차원을 만들 수 있다는 것을 알 수 있다.
이런 점에서 고차원의 존재는 필연적이라고 할 수 있다. 그러면 4차원의 존재에 대해서 추론해보자.
먼저, 선은 점으로 둘러싸여 있고 면은 하나의 선에 의해 둘러싸여 있고 입체는 하나의 면에 의해 둘러싸여 있다. 따라서 4차원은 하나의 입체로 둘러싸여 있는 존재라고 할 수 있다. 또한 선의 두께는 점이고 면의 두께는 선이다. 그리고 입체의 두께는 면이라고 할 수 있다. 따라서 4차원의 두께는 입체라고 할 수 있다. 그리고 발산하는 선의 point를 모으면 면의 주변선을 이루게 되어 면이 되고 발산하는 면의 point들을 모으면 입체의 주변면이 된다. 그리고 주변면이란 선에 의해 이루어져 있고 주변선이란 점에 의해 이루어져 있다고 볼 수 있다. 따라서 입체의 point를 모아서 겹쳐놓는다면 4차원을 만들 수 있다. 그리고 입체의 point는 면이라는 것을 알 수 있다. 따라서 4차원은 입체의 주변면에 의해 만들어 진다고 할 수 있다. 그리고 발산하는 입체의 기본형은 구라고 했다. 따라서 발산하는 구의 표면 위에 4차원을 나타낼 수 있다는 것을 알 수 있다.
또한 2차원을 정의하기 위해서는 하나의 길이와 하나의 각도가 필요하다. 그리고 3차원을 정의하기 위해서는 하나의 길이와 두 개의 각도가 필요하다. 그리고 2차원을 정의하기 위해서는 두 개의 축이 필요하고 3차원을 정의하기 위해서는 3개의 축이 필요하다. 따라서 어떤 차원을 나타내기 위해서는 그 차원의 수와 맞는 수의 변수가 필요하다는 것을 알 수 있다.
따라서 4차원은 네 개의 변수가 필요하다. 그리고 각으로 표현했을 때는 하나의 길이와 3개의 각도가 필요하다. 그리고 축으로 나타냈을 때는 4개의 축이 필요하다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 네 개의 변수를 이용하여 어떻게 4차원을 나타낼 수 있을까.
먼저, 원점은 (0, 정해지지않은각도, 정해지지 않은 각도)로 표현할 수 있다. 그리고 3차원은 (길이, 각도1, 각도2)로 표현할 수 있다. 그리고 원점으로부터 n의 속력으로 발산하는 구를 가정하자. 그러면 이 구 위에 원점을 투영할 수 있을 것이다. 그런데 정해지지 않았다는 것은 어떤 각도도 될 수 있다는 것이다. 따라서 원점을 (0, 각도1, 각도2)로 표현하는 것이 가능하다. 그러면 구에 투영된 원점을 semi origin이라고 가정할 때 그 위에 1차원을 표현하는 것이 가능할 것이다. 그러면 그 1차원은 (길이, 각도1,각도2)로 투영이 될 것이다. 그러면 이는 3차원과 일치한다고 볼 수 있다. 그리고 구 위에 선을 표현했기 때문에 면을 표현하는 것도 가능하다. 따라서 구 위에 면을 표현한다면 (길이, 각도1, 각도2, 각도3)이 될 것이다. 그런데 이는 4차원의 표현이라고 할 수 있다. 변수가 4개이기 때문이다.
또한 4차원은 무수히 발산하는 입체의 표면에 의해 만들어 진다고 가정했다. 그런데 4차원을 무수히 발산하는 구의 어떤 표면에 표현했다. 따라서 이는 기존의 성질과 일치한다고 볼 수 있다. 또한 4차원을 축으로 나타내면 4개의 축이 필요하다고 했다. 그런데 구 위에서 3차원이 선으로 투영이 되었다. 따라서 기존의 1,2차원의 평면 하나와 나머지 3,4차원의 평면 두 개를 기반으로 4차원 4개의 축을 표현할 수가 있다.
단, 한 가지 조심해야 할 것이 있다. 구 안에 n개의 unit이 존재하는 축이 있다고 가정하자. 즉 구의 반지름이 n/2이다고 가정하자. 그러면 반지름의 표면적은 n^2pi일 것이다. 그런데 구의 표면 위에 2개의 축이 존재한다고 했다. 그리고 이 두 개의 축 위에는 n개의 unit들이 존재할 것이다. 따라서 이 두 개의 축이 이루는 평면 위에는 두 축의 unit들이 모여서 만든 n^2개의 도형이 가능할 것이다. 그러면 이 도형들의 넓이는 pi라고 할 수 있다. 이 도형들이 모여 구의 표면적을 만들 수 있기 때문이다. 그리고 이 도형들이 정사각형을 만든다고 가정하자. 그러면 하나의 unit의 길이는 root pi라고 할 수 있을 것이다. 그런데 어떤 함수에서의 정의역은 대등한 관계를 갖는다. 따라서 정의역의 수와 단위는 같아야 한다. 따라서 unit이 root pi라는 모순을 해결해야 한다.
또한 3차원은 원점공간에서는 단위가1이었는데 구위의 공간에서는 단위가 root pi라면 표현상에 모순도 생긴다. 따라서 구위에서는 그만큼 시간이 느리게 간다고 가정해야 한다. 만약 시간이 느리게 간다고 가정하면 설사 길이가 늘어났을지라도 축이 증가하는 속도는 일정하게 맞출 수가 있기 때문이다.
그리고 4차원을 구 위에서 면으로 표현했기 때문에 5차원은 구 위에서 입체로 표현된다. 또한 5차원을 2개의 구를 가정함으로써 2번째 구에 투영하는 것이 가능하다. 단, 두 번째 구는 반지름이 n일 것이다. 따라서 두 번째 구 위의 공간에서의 unit은 길이가 2rootpi라고 할 수 있고 그만큼 시간이 빨리 지나가므로 속도는 일정하다고 할 수 있다.
그런데 2번째 구위에 semi-semi 원점을 가정할 때, 각도3과 각도4가 첫 번째 구에 따라 휘어지게 된다. 첫 번째 구위에 만든 5차원 입체 역시 휘어지게 된다. 그러나 만약 그 공간에 있다면 그 휘어진 것을 알지 못한다. 따라서 정해진 입체로 보일 것이다. 또한 2번째 구 역시 휘어지게 보일 것이다. 따라서 구보다는 타원형에 가까운 형태로 보일 것이다.
여기까지 고차원을 각으로써 구 위에 투영할 수 있고 축으로써는 두 개씩 나누어서 구 위에 표현할 수 있다는 것을 알 수 있었다. 그리고 이 과정에 대해서 좀 더 연역적으로 설명하자면, 발산하는 면의 표면선이 모이면 또다른 면을 만들어 입체를 가능케 한다. 그리고 발산하는 선의 표면점들이 모이면 또 다른 선을 만들어 면을 가능케 한다.
따라서 발산하는 입체의 표면이 모이면 또 다른 입체를 만들어 4차원을 가능케 한다는 것을 알 수 있다. 그런데 발산하는 구의 표면은 끊임없이 증가하는 상태이다. 따라서 발산하는 구 위에서의 면은 움직이는 것이라고 할 수 있다. 처음에 시간을 가지고 움직이는 면은 입체에 달한다고 했다. 따라서 발산하는 입체의 면이 모여서 4차원을 가능케 한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 시간을 가지고 움직이는 선은 면에 달한다고 할 수 있다. 따라서 진동하는 선은 발산하게 되고 면의 unit을 만든다고 했던 것이다. 또한 면이 시간을 가지고 발산하거나 움직이게 되면 고차원에서는 하나의 입체를 만들게 된다. 따라서 발산하는 구의 표면이 4차원을 만든다는 것이 가능하다.
또한 진동한다는 것은 시간을 갖는다는 것이고 시간을 가지고 발산한다는 개념도 된다. 따라서 진동하는 것은 저차원에서 보았을 때는 하나의 unit이지만 고차원에서 보았을 때는 셀 수 없이 많은 unit으로 보이고 따라서 고차원에서 제한된 unit 안에 발산하는 점을 놓는 것을 가능하게 한다.
두 번째로 선에는 n개의 점이 있고 면에는 n^2개의 점이 있고 입체에는 n^3개의 점이 있다. 따라서 4차원에는 n^4개의 점이 있을 것이다. 4차원은 발산하는 입체로 만들어 진다. 그런데 입체를 n^3이라고 보았을 때 속도를 갖고 증가한다는 것은 a×n^3꼴을 만든다. 그리고 발산한다고 가정했으므로 a는 n이 된다. 따라서 4차원의 한 unit에는 n^4개의 점이 있다고 볼 수 있다. 또한 구 위에서의 공간에서는 2unit도 잡을 수 있는데 이는 고차원에서는 2×n^4의 꼴이지만 저차원에서는 n^4으로 보일 것이다. 따라서 기존의 연역적인 성질들이 맞아떨어진다고 볼 수 있다.
그리고 2pi의 각을 n개로 나누고 또 다른 2pi 각을 n개로 나눈다고 가정하자. 그러면 이 각들을 하나의 unit으로 잡을 수가 있는데 그러면 구 위에서 3개의 unit과 길이 unit 하나로 면을 표현할 수 있다. 이 경우에도 4차원이라고 할 수 있는데 따라서 우리가 아는 모든 연역적인 성격들이 증가하는 구의 표면에 나타낸 4차원에서 적용이 된다고 할 수 있다. 먼저, n의 지름으로써 증가하는 3차원 구로써 4차원 unit하나를 정의를 했기 때문이다. 또한 이 unit이 두 개가 되면 자연스럽게 2n^4이 되기 때문에 가장 기본적인 성질을 만족하는 형태라고 할 수 있다. 따라서 4차원을 이런 식으로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있다.
이제 고차원을 표현하는 방법에 대해서 충분히 알았다고 본다. 그러면 마지막으로 고차원의 특징에 대해서 알아보자.
차원에서 정의역은 대등한 성격을 갖는다. 따라서 정의역은 모두 변수로서의 성격을 지닌다. 예를 들어, 3차원 함수에서 2개의 정의역이 있는데 각각의 정의역들은 독립적으로 변할 수가 있다. 그런데 고차원에서의 정의역들을 저차원에서 보면 치역과 정의역 관계이다. 따라서 고차원에서 정의역을 바꾸면 저차원에서는 치역이 바뀔 수 있다. 그런데 치역이 바뀌면 정의역도 바뀌게 된다. 따라서 정의역과 치역들이 고차원의 정의역으로써 또 다른 치역을 만들어 낸다면 치역이 정의역에 역으로 영향을 줄 수 있다.
그런데 치역이 정의역에 영향을 주면 결국에는 순환을 하게 된다. 정의역이 치역에 영향을 주고 치역이 정의역에 영향을 주는 일종의 피드백을 거치게 된다. 그리고 여기에서의 피드백은 단순히 어떤 숫자가 반복되는 것이 아니라 둘의 수에 어떤 변화를 주게 된다. 따라서 고차원 함수에서는 정의역과 치역이 어떤 함수의 정의역으로써 작용할 때 순환한다고 볼 수 있다.
또한 증가하는 1차원은 2차원이라고 했다. 그런데 2차원은 원이 될 수도 있고 정사각형이 될 수도 있다. 따라서 1차원 선이 2차원에 어떻게 투영될지 정해지지 않은 것이다. 또한 2차원의 형태에 따라 1차원의 정해지지 않은 각도가 정해지는 것이다. 따라서 2차원이 1차원에 영향을 준다고 할 수 있다. 그런데 여기서 차원이란 치역을 가리킨다. 예를 들어, 2차원을 (길이, 각도)로 표현할 수 있는데 이는 치역을 나타내는 것과 같다. 따라서 2차원의 치역이 1차원의 정의역에 영향을 준 것이다. 이런 점에서 치역이 정의역에 영향을 준다고 한 수 있다.
이런 점에서 고차원에서는 치역이 정의역에 영향을 주고 이러한 과정이 순환하는 공간이라고 할 수 있다. 따라서 다양한 정의역으로 이루어진 유기체는 고차원이라고 할 수 있고 고차원은 결과가 원인에 영향을 주기 때문에 유기체는 결과가 원인에 영향을 주는 어떤 피드백의 반복이라는 것을 알 수 있다. 그런데 우리 주변의 모든 것은 유기체이다. 따라서 우리가 아는 모든 것은 결과와 원인이 피드백을 갖는 존재라고 할 수 있다.
단, 한 가지 예외가 있다. 구가 증가할 때는 지름이 n,2n,3n의 증가꼴을 갖는다. 그리고 이 같이 정의할 수 있는 것은 마지막 구의 존재를 정의했을 때 가능하다. (선이 n의 속력으로 면의 여러 unit을 만드는 것과 같다.) 따라서 마지막 구는 항상 존재하고 이 구에서 어떤 함수가 증가하고 있다고 볼 수 있는데 이 마지막 치역은 아직 또 다른 치역을 만들지 못한 상태이다. 따라서 마지막 치역에 대해서는 결과가 원인에 영향을 주는 것이 힘들 수도 있다. 그러나 이 세상이 수많은 것으로 이루어져 있어서 실제로 차원을 낸다면 무수히 높은 함수가 나오고 이는 실제로 발산한다고 가정할 수 있으므로 구 위의 세계에서 사는 우리 입장에서는 이러한 마지막 구에 대한 존재에 대해서 큰 영향을 받지 않는다고 볼 수 있다.
그리고 한 가지 재미있는 것을 보자면 구의 반지름이 n의 속력으로 증가하기 때문에 n^2의 2차원을 가진다고 볼 수도 있다. 그러면 이 2차원은 어떤 면을 지닌다. 따라서 수 광년 밖의 공간을 2차원의 각도를 정의함으로써 우리 바로 옆에 놓을 수도 있고 n^3을 정의하면 공간을 겹치게 할 수도 있다. 따라서 공간 이동이 가능하다고 볼 수 있다.
또한 시간의 증가속도 역시 n의 꼴을 지닌다. 그런데 증가하는 n은 2차원이므로 면으로 표현할 수 있는데 따라서 2차원 각을 정해줌으로써 앞의 시간을 바로 옆에 둘 수도 있고 뒤의 시간을 바로 옆에 두고 건너갈 수도 있는 것이다. 따라서 불가능은 없다고 할 수 있다.
이제 고차원의 정의와 성격 고차원의 응용까지 알아보았다. 사실 우리 주변의 모든 것은 유기체라고 볼 수 있다. 최소한 유기체를 이루는 정의역으로 볼 수 있기 때문에 이들은 일종의 피드백을 지닌다. 따라서 우리가 이런 피드백을 잘 이용한다면 우리가 세상을 더 잘 이해하고 이용할 수 있다. 심지어 시간 여행까지 가능하기 때문에 그 어떤 것도 쉽게 해결할 수 있다는 것을 알 수 있다.
예를 들어, 민주주의에 대해서도 가난한 사람들이 불쌍하다거나 무작정 천부인권을 주장하며 옹호하기 보다는 차원이 높을수록 문제의 해결이 쉬워지는데 우리 사회가 차원이 높아지기 위해서는 정의역들이 많아져야 한다. 그런데 정의역들은 대등해야 함으로 우리 사회가 차원이 높아지기 위해서는 사람들이 평등해져야 한다. 따라서 평등을 지향하는 민주주의가 우리 사회 문제를 좀 더 쉽게 해결하게 하고 우리 사회의 차원을 높이기 때문에 필요하다고 주장할 수 있다. 물론 같은 주장이지만 하나는 연역적 과학의 사고이고 다른 하나는 근거가 빈약하다. 이처럼 사회 과학까지 고차원 유기체 이론이 도움이 되고 문제를 해결한다는 것을 알 수 있다.
한 가지 더 예를 들자면, 학문에는 사람이 유전자에 영향을 많이 받는가 환경에 영향을 많이 받는가에 대해 치열한 논쟁이 있다. 예를 들어, 진화심리학자나 유전자를 연구하는 사람들은 유전자 결정론자이고 환경에 관심이 많은 사회학자들은 환경결정론자이다. 또한 여기서의 논쟁은 나아가 국가 정책에도 영향을 끼치기도 한다. 예를 들어, 공부 잘 하는 아이들이 환경의 덕인가 유전자 때문인가에 대해서 환경의 덕이라고 하는 사람들은 교육을 강조하고 인권을 강조하는 반면 유전자를 강조하는 사람들은 공부 못 하는 애들을 포기하고 범죄를 저지르지나 못 하게 해야 한다고 주장한다.
그런데 이처럼 복잡한 문제에 대해서 유기체를 들이데면 쉽게 해결이 된다. 예를 들어, 유전자만 강조하는 것은 1차원 직선의 사고고 환경만 강조하는 것도 1차원 직선의 사고이다. 따라서 둘의 관계가 상호작용을 갖는 2차원이라고 가정하면 문제의 본질이 보인다. 예를 들어, 유전이 환경에 영향을 주지만 환경도 유전자에 영향을 준다. 따라서 이 둘을 어떤 상호작용을 가지며 발산하는 하나의 직선으로 가정할 수 있다. 그러면 이 둘은 어떤 주기를 갖게 된다. 따라서 이 주기를 잘 사용하면 교육에도 도움이 되고 문제의 본질 파악에도 도움이 된다.
두 번째는 이 둘을 하나의 면으로 표현하는 것이다. 그러면 이 둘의 어떤 2차원적 각을 정해줌으로써 이 둘을 통제할 수가 있다. 그러면 두 경우 모두 감히 둘을 함부로 떼어놓고 생각할 것이 아니라는 것을 알 수 있고 환경이라는 결과를 바꿈으로써 유전자에 영향을 줄 수 있고 이를 기반으로 유전자를 통제할 수 있다는 것까지 알 수 있다.
이제 차원에 대한 모든 성질과 응용까지 알아 보았다. 사실 차원을 응용해서 요리의 함수를 내는 것까지 가능하다. 또한 우리가 아는 대부분이 고차원 유기체기 때문에 이를 응용하면 할수록 우리 사회에 대해 더 잘 알 수 있다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 이러한 응용에 대해서 나의 다른 글에 적어놓았다는 것을 알리면 글을 마치겠다.(다른 글에서는 더 정보가 많다. 그런데 내용이 서로 상반될 수도 있는데 이 경우 최근에 쓴 글이 맞는 것이고 사실 상반되는 것은 거의 없을 것이다.)