4차원과 그보다 더 높은 차원들을 표현할 수 있다.

서점에 가면 시크릿이라는 책이 인기가 있다. 이 책은 긍정적인 사고가 성공에 영향을 준다는 내용으로 세계적으로 유명세를 탄 책이다. 그런데 보통 성공을 해서 긍정적인 사고를 할 수 있는 것이다. 따라서 긍정적인 사고를 해서 성공을 한다는 것은 결과가 원인에 영향을 준 것이라고 볼 수 있다.
그런데 이 같은 예는 주변에도 많이 있다. 예를 들어, 기분 나쁜 일이 있으면 인상을 쓴다. 그런데 인상을 쓰면 주변 사람과 안 좋은 일이 생긴다. 따라서 인상을 쓰면 기분 나쁜 일이 생긴다. 기존의 원인과 결과가 역으로 작용하는 것이다. 학문에서도 이러한 예가 있다. 인간 행동에 유전자가 중요한가 아니면 환경이 중요한가에 대한 문제는 오랜 논쟁거리였다. 그 둘은 어느 것이 원인이라고 할 수 없을 만큼 복잡하게 얽혀있기 때문이다.
예를 들어, 아기가 태어나기 위해서는 정자와 난자가 만나야 한다. 그런데 만약 아기가 태어날 시점에 환경에 의해서 둘이 만나지 못한다면 아기는 태어나질 못한다. 이는 환경이 유전자의 탄생에 영향을 끼치는 것이다. 그런데 일단 임신이 되면 주변 환경에 영향을 준다. 집안에 경사가 될 수도 있고 누군가에게는 부담이 될 수도 있다. 또 아기가 배속에 있는 동안에 주변 환경이 아기에게 영향을 끼친다.
이처럼 우리 주변에는 결과가 원인에 영향을 끼치는 사례가 무수히 있다. 우리는 이것을 상호작용한다고 하는데 이를 유기체라고도 한다. 그러나 우리는 이 유기체에 대한 모델을 갖고 있지 못하고 이를 과학적으로 설명하지도 못한다. 왜냐면 우리는 기계론적 사고관을 사용하기 때문이다. 기계론적 사고관이란 원인과 결과 두 가지만 생각을 하는 사고틀을 가리키는데, 이 때문에 우리는 유기체의 단면만 볼뿐 유기체의 전체 모델을 보질 못 한다. 그러면 이 유기체에 대한 모델에 어떤 것이 제일 적합할까.
유기체의 성질을 보자면 많은 원인들이 결과를 만들어 낸다는 것이다. 예를 들어, 우리 신체는 수많은 원인의 산물이다. 우선 유전자가 처음 만들어졌을 때부터 영향을 끼쳐온 환경이나 아기가 뱃속에 있었을 때의 환경이나 인간이 사회와 상호작용을 하는 과정 등 셀 수 없는 원인들이 현재 우리를 만들었다고 볼 수 있다. 그런데 이 같이 수많은 원인이 결과를 만들어 내는 것은 수학에서 고차원 함수와 같다고 볼 수 있다.
고차원 함수란 대등한 정의역이 여러 개인 함수를 가리키는데 여기서의 정의역은 원인과 같다고 볼 수 있다. 따라서 우리가 고차원 함수에 대한 성질과 바른 틀을 갖는다면 우리가 기존에 보지 못했던 것들을 과학적으로 볼 수가 있다.
그러면 고차원 함수에 대해서 살펴보기 앞서 우리 주변의 0123차원에 대해 정리해보자.
먼저 차원이란 공간과 시간이 만든 것이라고 볼 수 있다. 그리고 이 둘은 유기적으로 결합되어 있어서 만약 공간이 바뀌면 시간도 바뀌는 관계라고 볼 수 있다.
그리고 0차원이란 점을 가리킨다. 0차원에서는 점과 점 사이에 길이가 존재하지 않는다. 그리고 점이 붙어 있기 때문에 어떤 각을 정의하는 것도 불가능하다. 그리고 우리가 3차원에서 입체를 한 눈에 보지 못하고 2차원에서 면을 한눈에 못하는 것처럼 0차원에서도 점을 한눈에 보지 못한다. 그리고 점보다 낮은 물체는 정의하지 못하므로 0차원에서는 아무 것도 보지 못한다.(여기서 3차원은 우리가 살고 있는 세계를 임의로 표현한 것이지 실제로는 4차원이다.)
1차원은 고정된 선을 가리킨다. 선 안에는 무수한 점이 존재한다. 여기에서 길이를 표현하는 것이 가능하지만 각도를 정의하는 것은 불가능하다. 그리고 1차원 선 안에 선을 정의하는 것이 가능하다. 그리고 1차원에서는 점만을 볼 수 있다. 그러나 차원이란 공간과 시간을 가진 존재이므로 시간을 갖고 둘러본다면 점을 토대로 선을 정의할 수 있을 것이다.
2차원은 고정된 입체를 가리킨다. 여기에서 길이와 하나의 각도를 표현하는 것이 가능하다. 입체에서는 무수한 선들이 존재하는데 이 선들의 기울기나 선과 다른 선들 간의 관계를 표현하는데 각이 필요하기 때문이다. 그리고 면에서는 선까지 볼 수 있다. 그리고 면 안에 면을 정의하는 것이 가능하다. 그리고 시간을 갖고 둘러본다면 선을 기반으로 면을 정의할 수 있다.
3차원은 입체를 가리킨다. 여기에는 하나의 길이와 2개의 각도가 필요하다. 입체에는 많은 면들이 존재하는데 이 면들의 기울기나 면과 면사이의 관계를 표현하는데 각이 하나 더 필요하기 때문이다. 그리고 입체 안에 입체를 정의하는 것이 가능하지만 하나의 시각으로는 하나의 면밖에 보질 못한다. 그러나 만약 시간을 가지고 둘러본다면 면을 기반으로 입체를 정의하는 것이 가능하다.
그리고 점과 선과 입체를 정의하자. 선은 셀 수 없는 점으로 이루어진 물체이다. 그리고 면은 셀 수 없는 선으로 이루어진 물체이다. 그리고 입체는 셀 수 없는 면으로 이루어진 물체이다. 그리고 셀 수 없는 점으로 바로 입체를 만든다는 개념은 불가능하다. 왜냐하면 차원은 하나씩 증가하고, 셀 수 없다는 말은 n이라는 속도로 발산한다는 개념이기 때문이다.점이 n이라는 속도로 증가하면 그것은 선이 된다. 그리고 점이 n^2으로 발산하면 면이 되고 n^3으로 발산하면 입체가 된다. 여기서 셀 수 없다는 개념은 n으로 발산한다는 개념이므로 그 위의 차원으로 2단계이상 증가하는 것이 불가능하다.
그리고 선을 셀 수 없는 점으로 이루어져있다고 가정했다. 그러면 셀 수 있는 점은 점이라고 할 수 있을 것이다. 물론 0.5차원 같이 선 밑의 차원도 정의할 수 있지만 여기서의 점은 0을 가리킨다. 따라서 0에 우리가 생각할 수 있는 어떤 상수를 곱하면 0이 되므로 셀 수 있는 점으로 이루어진 물체는 점이라고 할 수 있다.
그리고 차원을 공간과 시간으로 이루어진 존재라고 정의했다. 이 같이 정의한 이유는 차원이 진화하기 위해서는 시간 개념이 꼭 필요하기 때문이다. 따라서 단순히 고정된 물체를 정의할 때는 시간이라는 표현을 쓰지 못할 수도 있다. 그런데 단순히 고정되어 주변과 통하지 않는 물체는 생각할 수 없기 때문에 중요하지 않다고 볼 수 있다. 그리고 수학에서도 하나의 함수에서 하나의 치역이 나온다. 그리고 이 치역이 다른 정의역들과 상호작용을 하면 차원이 하나 올라가게 된다. 따라서 단순히 고정되었다는 것은 이 같은 상호작용을 무시하는 것이기 때문에 가정이 틀렸다고 볼 수 있다.
그러면 차원은 반드시 시간을 가지고 진화하는 존재이고 그 과정이 하나씩 진행된다는 것을 알 수 있다. 그러면 이러한 과정을 어떻게 전개될까.
첫 번째, 0차원에서 1차원의 과정을 살펴보자. 그러기 위해서는 먼저 점을 정의해야 한다. 점이란 원점을 가리킨다. 그리고 점은 0에 수렴하는 것이지 0이 아니다. 따라서 점에는 셀 수 있는 점이 있을 수 있다. 그리고 선은 셀 수 있는 점으로 이루어진다. 따라서 선은 n개의 점으로 이루어져 있다고 볼 수 있다. 그런데 선에는 단위가 존재한다. 그래서 단위 1에 들어 있는 점이 n개라 가정하면 점 하나는 1/n에 대응이 되고 단위 2에 들어 있는 점이 n개라 가정하면 점 하나는 2/n에 대응이 된다고 볼 수 있다. 그리고 여기서의 n은 발산하는 개념이다. 따라서 점의 입장에서는 선이 무한대의 개념이고 선의 입장에서는 점이 0의 개념이라는 것을 알 수 있다.
여기서 점이 몇 개 있어야 단위 1,2가 되느냐 하는 것은 말이 되지 않는다. 따라서 속력 n으로 증가하는 점은 단위 1을 만들고 속력 2n으로 증가하는 것은 단위 2를 만든다고 가정해야 한다. 그런데 한 가지 주목할 점은 하나의 선에 있는 점들은 똑같은 속도로 증가한 결과라는 것이다. 단위 1을 만들 때는 n의 속력으로 증가하다 단위2를 만들 때 2n의 속력으로 증가하는 것이 아니라는 것이다. 따라서 선의 어떤 마지막 범위가 정해져 있을 때 그 안에 있는 점들은 등속운동을 한다고 가정할 수 있다. 그리고 면과 선, 입체와 면의 관계도 이와 같다고 볼 수 있다. 그리고 선은 점에 의해 둘러싸여 있다. 그리고 면은 하나의 선에 의해 둘러싸여 있다. 그리고 입체는 하나의 면에 의해 둘러싸여 있다.
이제 차원이 증가하는 과정을 보자. 먼저 차원은 한 단계씩 증가한다고 가정하자. (여기에서는 소수점 차원을 정의하지 않았다.)그리고 차원이 증가하는데 제일 중요한 것은 무엇일T까. 그것은 시간 개념이라고 볼 수 있다.
먼저 선이 일정한 속도로 발산하고 있다고 가정하자. 그리고 선이 2n의 속도로 발산한다고 가정하자. 그리고 선을 2unit씩 자른다고 가정하자. 그러고 그 2unit을 층층이 쌓는다고 가정하자. 그러면 2unit의 선들이 n개 생길 것이고 그 선들의 point를 모으면 n개의 점이 나올 것이다. 그리고 n개의 발산하는 점은 unit1을 만든다고 가정했다. 그러면 이 선들을 층층이 모으면 가로 길이 2, 세로 길이 1인 직사각형이 나올 것이다. 그리고 직사각형은 2차원이라고 할 수 있다. 따라서 발산하는 선은 2차원이라고 할 수 있고 하나의 선으로 고정시킬 수 없다는 것을 알 수 있다. 면이 입체가 되는 것도 마찬가지이다. 면이 2n의 속도로 증가하면 이를 2unit씩 잘라 쌓으면 밑면적이 2이고 높이가 1인 직육면체가 나올 것이다. 여기서 차원이 증가하는데 제일 중요한 것은 발산이고 이는 시간의 존재를 암시한다는 것을 알 수 있다. 그리고 여기서 한 가지 재미있는 것을 알 수 있다. 선이 면이 되기 위해서는 선을 쌓는다는 개념이 필요하다는 것이다. 그리고 선을 쌓는다는 개념은 2차원에서 가능한 개념이다. 그리고 면을 쌓는다는 것은 3차원에서 가능한 개념이다. 그리고 선이 한 가지 방향을 갖고 증가한다고 가정할지라도 이는 2차원의 각을 갖는 개념이다. 그리고 면도 마찬가지이다. 따라서 차원이 증가하는 데는 한 단계 높은 차원의 각을 갖는 것이 필요하다는 것을 알 수 있다. 또한 만약 높은 차원의 각을 갖고 있지 않다면 공간이 존재하는 것이 불가능하다는 것을 알 수 있다.
그래서 우리는 저차원에서 고차원으로 가는 과정은 고차원의 정해지지 않은 각도를 갖고 저차원에서 발산하는 것이라고 볼 수 있다. 그리고 저차원의 형태를 무한히 쌓으면 고차원이 된다는 것을 알 수 있다. (여기서의 가정은 차원은 한 단계 높은 단계로 끊임없이 증가한다는 것이다. 그런데 함수에서 치역은 한 가지씩 만들어진다. 그리고 이 치역이 정의역들과 대등하게 관계를 맺을 때 고차원으로 증가할 수 있다. 그리고 차원은 변수들의 개수와 갖다. 따라서 차원은 하나씩 증가한다는 것을 알 수 있다.)
따라서 0차원은 (0,정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)로 나타나고, 1차원은 (길이, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)로 나타나고 2차원은 (길이, 각도1, 정해지지 않은 각도) 로 나타나고 3차원은 (길이, 각도1, 각도2)로 나타난다는 것을 알 수 있다.
그리고 축을 사용하여 표현할 때는 0차원은 0개의 축이 필요하고 1차원은 1개의 축이 필요하고 2차원은 2개의 축이 필요하고 3차원은 3개의 축이 필요하다. 따라서 어떤 차원을 표현하기 위해서는 그 차원의 단계에 대응하는 변수의 개수가 필요하다는 것을 알 수 있다. (여기서 축을 이용하여 차원을 표현하는 것은 그 차원 속에 내가 있다는 가정 하에 가능하다. 만약 내가 그 차원보다 높은 차원에 있다면 그 차원을 그런 식으로 보질 못한다. 왜냐면 그 차원이 정해진 각도로 존재하는 것이 아니기 때문이다.)
그리고 흥미로운 것은 0차원이다. 여기서 0은 0이 아니라 0에 수렴한다는 숫자이다. 그리고 면이 하나의 선에 의해 둘러싸이고 입체가 하나의 면에 의해 둘러싸이듯이 선도 하나의 점에 의해 둘러싸여야 한다. 그러나 우리가 아는 선은 최대 2개의 point를 가질 수 있다. 차원은 한 단계씩 증가하기 때문에 연역적인 성질을 갖는다. 그런데 이는 기존의 과정에 모순이라고 볼 수 있다. 그러면 이 모순을 어떻게 해결해야 할까.
첫 번째로, 우리는 점을 정의해야 한다. 점은 셀 수 있는 점으로 이루어져 있다. 이는 선이 셀 수 없는 점으로 이루어져 있기 때문에 상대적으로 점은 셀 수 있는 점으로 이루어져 있다는 것이다. 그리고 발산하는 선이 면이 만들듯이 점이 발산하면 선이 만들어지게 된다. 따라서 선의 두 point는 하나의 점에서 나온 것이라고 볼 수 있다. 따라서 선이 하나의 점에 의해 둘러싸여 있다고 볼 수 있다. (나는 점이 셀 수 있는 점이라고 가정했다. 그러나 우리가 0차원보다 낮은 차원이 없다고 가정할 때 점을 하나의 unit으로 표현하는 것은 불가능하다. 하나의 unit은 그보다 낮은 단계의 unit이 발산함으로써 만들어지기 때문이다. 따라서 점은 단순히 0에 수렴하는 존재라고 가정해야 한다.)
내가 말한 것을 다시 정리하자면, 고차원으로 한단계 나아가지 위해서는 고차원의 정해지지 않은 각과 시간을 갖는 것이 필요하다. 그리고 고차원으로 나아가는 과정은 필연적인 과정이라고 하였다. 나중에 설명하겠지만 어떤 차원을 고차원이 존재함으로써 존재할 수가 있다.
그러면, 차원에서의 함수는 어떻게 표현될까. 첫 번째로, 1차원에서는 정의역과 치역이 같은 함수만이 가능하다. 그리고 이 함수의 모형은 점이라고 볼 수 있다. 두 번째로 2차원에서는 하나의 정의역과 하나의 치역을 갖는 함수가 존재한다. 그리고 이 함수의 모양은 선이라고 볼 수 있다. 세 번째로 3차원에서는 하나의 치역과 두 개의 대등한 정의역을 갖는 함수가 존재한다. 그리고 이 함수의 모양은 면이라고 볼 수 있다. 그리고 어떤 차원의 함수의 모양은 한 단계 낮은 차원의 형태라는 것을 알 수 있다. 그런데 0차원에서는 점보다 낮은 차원을 생각하기 힘들다. 따라서 함수가 없다고 가정할 수 있다. (만약 0차원을 진동하는 점이라 가정하면 그보다 낮은 차원을 고정된 점이라고 가정할 수는 있다)
그리고 함수의 치역을 각으로 나타내면 1차원에서는 (길이, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)로 표현할 수 있다. (이는 3차원에서 본 1차원이다. 만약 1차원 내에 있다면 단순히 길이만으로 치역을 표현할 수 있다.) 그리고 2차원에서는 (길이, 각도, 정해지지 않은 각도)로 표현할 수 있고 3차원에서는 (길이, 각도, 각도)로 표현할 수 있다. 그리고 2차원에서도 만약 2차원 내에 있다고 가정하면 (길이, 각도)로 표현할 수 있다.
그리고 여기서 ‘정해지지 않은’이란 표현을 설명하자면 저차원에서 고차원으로 나아가는 것이 확실할 때, 저차원이 고차원에 어떻게 표현될지 모르기 때문에 쓴 표현이라고 할 수 있다. 예를 들어, 증가하는 선을 2차원이라고 가정했는데 이 선이 원에 투영될지 사각형에 투영될지는 모른다. 따라서 정해지지 않았다는 확률론적 표현이 가능하다. 또한 선에서 unit 단위의 점을 짚어내는 것이나 면에서 unit단위의 선을 짚어내는 것이 불가능하기 때문에 이는 확률론적으로 접근할 수밖에 없다.
그리고 차원에서의 함수를 축으로 표현하면 0차원에서는 함수가 없기 때문에 축이 0개 필요하고 1차원에서는 축이 한 개가 필요하고 2차원에서는 축이 2개가 필요하고 3차원에서는 축이 3개가 필요하다. 그리고 여기서 중요한 것은 원점을 어떻게 정하는가와 차원을 어떤 배경에 투영할 것인가라고 할 수 있다. 그러면 차원을 표현하는데 가장 적합한 모델을 각각 무엇일까.
첫 번째로, 0차원에서 우리는 원점 하나를 정의할 수 있다. 그리고 1차원에서는 직선으로 발산하는 선을 배경으로 할 수 있다. 그리고 2차원에서는 원으로 발산하는 면을 배경으로 할 수 있다. 그리고 3차원에서는 구로 발산하는 입체를 배경으로 할 수 있다. 여기서 중요한 것은 발산하는 선은 2차원이고 발산하는 면은 3차원이고 발산하는 입체는 4차원이라는 것이다. 따라서 차원의 단계적 진화는 필연적인 것이라고 볼 수 있다. 그리고 직선이라는 개념은 1차원적 개념에서 나온 관념적인 것이고 면이라는 것은 2차원적 개념에서 나온 관념적이라는 것이다. 따라서 이들을 3차원에 투영할 경우 이들이 어떻게 표현될지는 확률론적이라는 것을 알 수 있다. 그리고 만약 우리가 1차원을 3차원에 정해진 곳으로 투영하기 위해서는 먼저 0의 단위를 정해야 한다. 만약 점의 단위를 안다면 원을 수많은 점으로 표현해서 그 점에 찍으면 되기 때문이다. 그러면 투영되는 모델만 알면 어디에 투영될지 알 것이다. 그러나 발산이나 0의 개념은 우리가 고정시킬 수 있는 개념이 아니다. 또한 점의 unit을 정하는 것은 점보다 낮은 차원을 가정함으로써 가정함으로 우리는 확률론적으로 접근해야 한다.
그리고 여기서 선이나 면이나 입체가 증가하는 것은 일정한 속도이다. 그리고 이 속도에 의해서 그 높은 차원의 단위가 만들어 진다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 고차원에서 n이라는 unit을 만들기 위해서는 n.N이라는 속도로 증가해야 한다. 그리고 만약 이 n이 발산할 경우 N^2이 돼서 두 단계를 진화한다. 따라서 N이라는 속도로 증가하는 것이 연역적으로 옳다는 것을 알 수 있다.
그리고 단계적으로 증가한다는 것과 N이라는 속도는 관계가 있다. 예를 들어, n^2을 선에 나타내면 이는 관념적인 것에서나 가능하다. 그리고 n^3을 면에 나타내면 이는 관념적인 것에나 가능하다. 따라서 속도를 n이라고 잡은 것은 단계적으로 차원이 증가할 때 필연적인 것이라고 볼 수 있다.
이 때까지 1차원은 증가하는 선에서 2차원은 증가하는 원에서 3차원은 증가하는 입체에서 가능하다고 가정을 내리고 전개했다. 그렇다면 이 같은 가정이 성립이 되는 이유는 무엇인가.
첫 번째로 원점에 셀 수 있는 점이 있다고 가정하자. 그리고 이 점들이 각 각 흩어진다고 가정하자. 그러면 이 점들을 이어 선을 만들 수가 있을 수 있을 것이다. 그리고 이 점들이 흩어진 거리를 통해서 선이 증가하는 속도를 젤 수가 있다. 그런데 이 점들이 흩어진 거리는 서로를 통해서 알 수가 있다. 따라서 이 점들이 흩어질 경우 두 점은 같은 속도를 갖는다는 것을 알 수 있다. 그리고 이 점들은 0에 수렴하는 공간에 존재한다. 따라서 붙어있다고 가정할 수 있고 만약 둘이 발산할 경우 서로에게 작용 반작용을 줄 수가 있다. 또한 점들이 증가하는 것은 방해물이 없기 때문에 이는 등속운동을 할 수밖에 없다. (그리고 이 점들은 1차원에서의 선을 갖게 될 것이다. 단 2차원이나 3차원에 투영할 경우 정해지지 않은 형태를 갖는다. 점을 진동하는 존재라고 가정하면 2차원에서의 선 역시 진동하는 것처럼 보일 수 있다.)
따라서 1차원의 배경이 되는 존재는 증가하는 선이라는 것을 알 수 있다. 그러면 2차원의배경이 되는 존재가 증가하는 원이 되는 이유는 무엇인가.
원 주변에 셀 수 없는 점이 있다고 가정하자. 그러면 이는 선에 준한다고 볼 수 있다. 그리고 이 원점으로부터 두 점씩 짝을 지어서 발산한다고 가정하자. 그리고 이 원점에 수많은 점이 존재한다고 가정했으므로 이러한 점들이 수많이 있다고 가정할 수 있다. 따라서 이 점들이 하나의 선을 만든다고 가정할 수 있다. 그리고 이 점들이 발산하므로 이 선 역시 끊임없이 발산할 것이다. 그런데 이 점들이 원점과 갖는 거리는 각각 같다. 따라서 원에 준한다고 볼 수 있다. 그리고 발산하는 원은 3차원이므로 2차원이 3차원에서 존재한다는 것을 알 수 있다.(그리고 선이 방향이 정해지지 않은 방향으로 증가할 경우 이 선이 만드는 입체는 확률적으로 원을 만들게 된다.)
그리고 3차원의 배경이 증가하는 구인 이유는 다음과 같다. 먼저 원점에 셀 수 없는 점이 있다고 가정하자. 이 들을 발산시키면 2차원에서 정의된 원을 만든다는 것을 알 수 있다. 그러면 이 원은 정해지지 않은 3차원 각을 갖고 있기 때문에 이들을 발산시킬 경우 확률적으로 이 원이 3차원에서 구의 형태를 띤다는 것을 알 수 있다. 그리고 이 구를 발산시킨다면 3차원의 배경이 될 수 있다. (만약 원을 발산시키지 않고 고정된 2차원으로 놓는다면 3차원에서 보았을 때 부피를 갖지 않는 0의 형태로 보일 것이다. 선에서 점의 존재나 면에서 선의 존재와 같다.)(흔히 전자와 양자를 고차원 존재로 추론하는데 오히려 우리보다 낮은 차원의 존재일 가능성이 더 크다. 또한 이 패러다임을 적용하면 작은 것들에 대해 더 잘 알 수 있다.)
그러면 이번엔 4차원의 존재에 대해 추론하자. 먼저 원점은 (0, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)를 갖고 선은 (길이, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)로 표현되고 면은 (길이, 각도, 정해지지 않은 각도)로 표현이 되고 입체는 (길이, 각도, 각도)로 표현이 된다.
그리고 발산하는 선의 point를 모으면 면의 주변 선이 되어 면을 정의하게 되고 발산하는 면의 선을 모으면 입체의 주변 면이 되어 입체를 정의하게 된다. 따라서 발산하는 입체의 면을 모으면 4차원을 정의할 수 있다는 것을 알 수 있다. 또한 발산하는 선으로 어떤 면을 만들 수 있고 발산하는 원으로 어떤 입체를 만들 수 있다. 따라서 발산하는 구로써 어떤 4차원을 만들 수 있다는 것을 알 수 있다. 또한 차원을 하나 높이기 위해서는 정해진 고차원의 각을 하나 더 가져야 한다는 점 그리고 축을 하나 더 가지게 된다는 점 등을 추론할 수 있다.
따라서 4차원이란 발산하는 3D라고 가정할 수 있다. 따라서 기존에 시간과 공간을 4D라고 가정한 것도 맞는 의견이라는 것도 포함할 수 있다. 또한 4차원은 (길이, 각도, 각도, 각도)로 표현되고 기존에 x, y, z축에 h축이 하나 더 들어간 존재라는 것을 알 수 있다.
그리고 4차원이란 발산하는 구라고 하였는데 어떻게 이것이 차원의 다른 연역적인 성격과 맞는가 그리고 어떻게 4차원을 발산하는 구위에 나타낼 수 있는가에 대해 말하겠다. (발산하는 구를 4차원의 어떤 단위라고 생각한다면 그 단위 안에 더 작은 단위를 만드는 것이 가능하다. 그리고 구가 발산하기 때문에 그 위에 4차원의 거대한 구를 만들 수 있다.)
먼저, 0차원은 (0, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)이다. 여기서 정해지지 않은 것이란 것은 어떤 각도로도 투영될 가능성이 있다는 것이다. 그리고 3차원은 (길이, 각도1, 각도2)이다. 그리고 0차원을 증가하는 구위에 투영한다고 가정하자. 그러면 (0, 각도1, 각도2)로 투영이 될 수도 있을 것이다. 그러면 이는 semi origin이라고 볼 수 있을 것이다. 그런데 이 원점에서 길이를 나타낸다고 가정하자. 그러면 (길이, 각도, 각도)라고 나타낼 수 있을 것이다. 그러면 이는 3차원과 일치한다고 볼 수 있다. 여기서 3차원이 길이로 투영이 된다면 4차원은 면으로 투영이 된다는 것을 알 수 있다. 따라서 4차원은 구위에서 (길이, 각도, 각도, 각도)라고 나타낼 수 있을 것이다.
그런데 처음에 4차원은 증가하는 구의 면에 의해서 표현된다고 하였다. 따라서 이는 기존의 연역적 과정과 논리적으로 맞는다고 정의할 수 있다. 그리고 4D를 구위에 면으로 표현하였기 때문에 5D는 구 위에서 입체로 표현될 것이다. 또한 증가하는 구위에서 또 하나 의 증가하는 입체를 가정한다면 6차원을 그 증가하는 입체 위에 면으로 표현할 수 있을 것이다. 그리고 그 증가하는 입체 역시 구의 성격을 띌 것이다. 그런데 구위에서 점을 투영하면 그 점은 구의 표면을 따라 휘게 된다. 따라서 그 구가 왜곡돼 보일 것이다.
여기에는 2가지 주목할 점이 있다. 첫 번째는 고차원의 각이 정해지지 않았다고 가정하는 것이다. 따라서 4D는 (길이, 각도1, 각도2, 각도3)으로 투영이 될 것이고 만약 7차원에 투영이 된다면 (길이, 각도 1, 각도2,각도3, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도, 정해지지 않은 각도)로 투영이 될 것이다.
두 번째로, 축에 관한 것이다. 정의역의 축들은 대등하다. 예를 들어, 3차원에서 정의역은 대등하기 때문에 면에 성격을 띤다. (하지만 이 둘이 저차원에 투영될 경우 정의역과 치역으로 투영될 수 있다)그리고 모든 축들은 정의역이 될 가능성이 있다. 따라서 모든 축들은 대등해야 한다. 따라서 모든 축들은 같은 속도로 증가해야 한다.(n)그리고 이는 축들에 있는 unit들의 개수가 같아야 한다는 것을 의미한다.(물론 세는 것은 불가능하지만 설명을 쉽게 하기 위해 가정한 것이다)
그리고 3차원까지의 축들은 모두 n의 속력을 가졌다. 그러면 증가하는 구의 반지름은 n/2일 것이다. (여기서 축은 정육각형의 개념이지만 각은 구의 개념이다. 그런데 증가하는 입체는 구의 꼴을 가지기 때문에 여기서 축은 구의 모형에 의해 제한된다고 볼 수 있다.)
그러면 구의 겉넓이는 n^2 pi라고 할 수 있다. 그리고 구의 겉넓이에는 3차원과 4차원의 두 축이 표현이 된다. 그리고 두 축에는 n개의 unit이 있다고 볼 수 있다. 두 축 역시 n의 속도를 가질 것이기 때문이다. 그리고 두 축의 각각 하나의 unit에 의해 만들어지는 물체의개수는 n^2이고 그 넓이는 pi라고 볼 수 있다.
그리고 이 두 축의 unit이 정사각형을 만든다고 가정하자. 그러면 이 unit의 길이는 root pi라고 할 수 있다. 그러면 기존에 모든 축은 대등하다는 가정을 어기게 된다. 또한 3차원의 축은 처음에는 1의 길이를 갖다가 root pi를 unit의 길이로 갖는 모순을 갖게 된다.
따라서 우리는 구위에서의 시간이 느리게 간다고 가정해야 한다. 처음에 차원이란 시간과 공간에 의해 만들어지는 존재라고 가정했기 때문에 공간이 바뀌면 시간도 역시 바뀌어야 한다. 여기서 시간의 속도와 공간의 길이는 반비례관계라고 볼 수 있다.
그리고 우리는 표면 위에 축을 세울 수 있다고 가정했다. 그리고 만약 축이 표면 위에 있다면 다른 4,3차원과 단위를 맞추어야 한다. 따라서 5차원의 높이축도 같은 시간 단위를 갖는다. 그리고 원점에서 점들이 일정한 속도로 증가한다고 가정했다. 따라서 이 점들은 구 위에 하나의 점에 투영될 것이고 이 점들은 결국 다른 공간과 시간을 갖게 된다고 볼 수 있다.
그러면 5차원이 두 번째 구로 투영이 될 때는 어떤 일이 생길까. 먼저, 원점에서 점들이 일정한 속도로 증가한다고 가정했다. 그런데 구위에서 점들이 퍼질 수 있다고 가정하면 이 점들은 다른 점들보다 멀리 간 것이다. 따라서 이는 가정에 모순이 된다고 할 수 있다. 이는 다음과 같이 생각함으로써 해결할 수 있다.
원점에서 점들이 증가할 때 두 개의 점이 있다. 하나는 n의 속도로 증가하여 첫 번째 구를 만들고 다른 하나는 2n의 속도로 증가하여 두 번째 구를 만들 것이다. 그러면 점들의 속도를 바꾸지 않고도 2개의 구를 만들 수 있다. 두 번째 점은 첫 번째 점에 의해 자동적으로 속도가 n에 맞추어지기 때문이다. 이는 2unit의 선의 점들이 같은 속도로 증가하여도 unit1과 unit2를 만드는 것과 같다. 그러면 5차원이 뻗어나갈 새로운 공간이 가능해진다. (여기서 진행한다는 것을 2차구가 이미 진행한 자취를 잇는다고 생각하는 것이 효율적이다.)(여기서 중요한 것은 모든 점들의 속도는 같고 두 번째 구와 첫 번째 구 사이에 7차원의 음의 세로축이 존재할 n/2개의 unit의 공간이 존재한다는 것이다.)(그리고 여기서 점들이 같은 속력으로 진행한다는 것은 마지막 구를 가정하고 표현한 것이다. 따라서 구가 수많이 만들어질 수는 있지만 항상 마지막에 아직 만들어 지지 않은 구가 있다는 것을 알 수 있다.)
그리고 두 번째 구의 겉넓이는 4n^2pi이다. 그리고 그 위에는 2개의 축이 표현될 수 있다. 그러면 한 축의 unit은 2rootpi일 것이다. 그리고 축의 속력은 같아야 함으로 다른 공간에 비해 그만큼 시간이 느리게 갈 것이다. 그리고 만약 내가 3종류의 점들을 가정한다면 9D를 표현하는 것이 가능하다. 그러나 여기서의 핵심은 점들의 속도는 같되 공간과 시간은 상황에 따라 달리 표현된다는 것이다.
따라서 차원의 성질에 대해서 그리고 그것이 표현이 되는 방법에 대해 고찰해 보았다. 그런데 이게 어떻게 유기체의 모델이 될 수 있을까. 먼저 유기체의 정의는 결과가 원인에 영향을 주는 상호작용을 갖는 존재를 말한다. 또한, 유기체는 공통적으로 수많은 원인에 의해 초래된다는 것을 알 수 있다.
그리고 고차원에서는 결과가 원인에 영향을 준다. 예를 들어, 고차원에서의 형태가 저차원에서의 점이 어떻게 고차원에 투영되는가에 영향을 준다. 이는 저차원이 고차원에 영향을 받은 거라고 할 수 있는데 저차원은 원인 고차원은 결과에 대응된다는 점에서 이는 결과가 원인에 영향을 주는 예라고 할 수 있다. 또한 고차원에서는 정의역들이 대등하다. 따라서 이 정의역들은 각각 독립된 변수라고 가정할 수 있다. 그런데 이 독립된 변수 중 저차원에 치역으로 대응되는 정의역을 바꿀 경우 저차원에서는 치역이 바뀌게 된다. 그러면 그 치역 값에 따라 정의역이 바뀌게 되는데 고차원을 결과, 저차원을 원인에 대응시킬 경우 이는 결과가 원인에 영향을 주는 것이라고 볼 수 있다.
또한 고차원에서는 여러 원인들이 결과에 영향을 주는 것을 표현할 수 있다. 그것이 고차원의 정의이기 때문이다. 따라서 고차원은 유기체의 모델이 될 수 있다. 그리고 이를 토반으로 유기체의 성질을 유추할 수 있는데 그 중 하나는 주기를 갖는다는 것이다. 예를 들어 처음의 어떤 원인이 결과를 만들면 이 결과가 다시 원인에 영향을 끼치는 상호작용을 하게 되는 것이다. 이를 활용한다면 우리 주변의 많은 문제들을 해결할 수 있다.
예를 들어, 인간은 유전자의 영향을 받는가 아니면 환경의 문제를 받는가에 대해서 차원을 높여서 보면 간단하게 해결할 수 있다. 인간이 둘 중 하나의 영향만을 받는다고 보는 것은 1차원 선의 개념이다. 따라서 이 둘 간의 상호작용을 면의 개념으로써 본다면 문제에 대한 본질을 간단하게 볼 수 있다. 그리고 이 둘은 어떤 주기를 갖는다고 볼 수 있다. 범죄의 경우 먼저 환경이나 유전자의 원인이 존재하고 이를 기반으로 어떤 범죄가 생겨나는데 이 근본적 원인을 없애거나 둘 간의 상호작용의 주기를 깸으로써 이 범죄를 막을 수가 있다.
간단히 분석하자면 범죄는 신분 상승의 욕구에서 나온다. 이 욕구가 환경에 의해서 억압당하고 이 억압당한 욕구는 다른 방법을 찾으려 하고 그러다 보니 이 욕구가 사회에 이롭지 않은 방향으로 발전된 것이 범죄라고 볼 수 있다. 따라서 이 문제에 대한 문제는 두 가지 방법으로 해결할 수 있다. 첫 번째는 신분 상승의 욕구의 원인을 찾는 것이다. 이는 환경에 있다고 볼 수 있다. 어떤 신분을 정해두고 이에 맞지 않으면 무시를 하는 환경에 의해 첫 번째로 상호 작용을 받아서 생긴 결과라고 볼 수 있다. 두 번째는 신분 상승의 방법을 사회에 이로운 방법으로 길을 내주는 것이다. 이 경우 교육이 대표적인 예라고 볼 수 있다.
이처럼 우리 주변의 유기체적 문제에 대해서 피드백의 주기를 이해한다면 그 문제를 해결할 수 있다. 그런데 유기체란 기본적으로 고차원 함수를 가리킨다. 그리고 고차원 함수 중에 결과가 원인에 영향을 받으면 모두 유기체라고 할 수 있다. 그런데 우리 주변에 유기체 아닌 것이 있을까. 예를 들어, 기계도 우리 사회의 유기체적 성격을 띤다. 인간은 필요에 의해 기계를 만들었다. 그리고 기계는 인간에게 혜택을 준다. 그런데 인간은 기계의 혜택에 대해 부족함을 느낀다. 따라서 인간은 기계에 업그레이드를 시키고 그러면 기계는 인간에게 더 큰 혜택이라는 리엑션을 주게 된다. 여기서 기계는 결과 인간은 원인에 해당한다. 그런데 기계가 인간에게 영향을 주고 다시 반대로 영향을 받는다. 즉, 결과가 원인에 영향을 받는 것이다.
유기체의 반대말인 기계가 유기체에 속한다면 사실 세상에 유기체가 아닌 것은 없다고 볼 수 있다. 그렇다면 우리는 유기체의 성질을 이용하여 우리 주변의 모든 문제를 해결할 수 있는 것이다. 사실 이를 이용해서 학문의 골칫덩어리 문제들을 풀어보았는데 놀랍게도 단순하게 답이 나왔다. 뿐만 아니라, 사람들이 갖는 생각들이 하나하나 이유가 있었고 사회와 상호작용하는 과정에서 나왔다는 결론을 갖게 되었다.
예를 들어, 민주주의는 왜 발전했는가. 우리 사회는 하나의 유기체로 설명이 된다. 그런데 이 사회가 민주주의를 키워낸 이유는 무엇이고 사람들이 본능적으로 민주주의에 대해서 열광하는 이유는 무엇일까. 사실 우리가 살고 있는 사회를 민주주의라고 가정하든 왕정시대라고 가정하든 개인적인 삶에 큰 변화는 없다. 어차피 돈에 따라 직업에 따라 계급이 존재하고 이를 형식적으로 무시할지라도 이들이 사라지는 것은 아니다. 이를 사람들이 체감함에도 불구하고 왜 형식적 민주주의에 대해서 열광하는 것일까.
사회를 하나의 유기체라고 가정했다. 유기체란 고차원 함수이기 때문에 수많은 정의역들로 구성된다. 그리고 그 정의역은 사회 구성원들이라고 가정할 수 있다. 그런데 고차원 함수에서는 저차원 함수에서 할 수 없는 일들이 쉽게 이루어진다. 예를 들어 1차원에서는 선을 회전시키는 것이 불가능하지만 2차원에서는 가능하다. 3차원에서는 좌우 비대칭인 물체를 회전시켜도 같은 물체라고 보지만 2차원에서는 다른 물체라고 가정한다. 또한 수학에서도 3차원 함수를 2개의 변수로만 표현하려 하면 사실 너무 복잡해진다.
즉, 고차원 함수로 갈수록 문제가 쉽게 풀린다는 것을 알 수 있다. 그런데 고차원 함수는 단순히 정의역만 존재한다고 만들어지는 것이 아니다. 이 정의역들이 상호작용을 했을 때 가능한 것이다. 그리고 정의역들이 상호작용을 하기위해서는 위에서 정의했듯이 먼저 정의역들이 대등해야 한다. 만약 정의역이 대등하지 않다면 그것은 저차원 함수로 고차원 함수를 표현하는 것과 마찬가지이다. 따라서 이 사회의 문제를 쉽게 해결하기 위해서 사회구성원이 대등한 민주주의가 필요한 것이다.
사실 민주주의의 시작은 단순히 서양세력이나 일본의 식민지배에 의해서 이루어진 것이 아니었다. 이미 조선에서는 민주주의의 필요성에 의해 진작부터 이것이 시행되고 있었다. 조선의 사림들이 기존에 왕권에 의존적인 정치에서 양반들의 상호작용에 의한 정치로 변환시키는 개혁을 주장한 것이 가장 대표적인 예라고 할 수 있다. 뿐만 아니라 조선 후기로 갈수록 이 양반의 층이 두꺼워지는 경향이 있는데 이는 점점 사회 구성원들이 대등해지고 민주주의에 가깝게 발전하고 있음을 가리킨다.
그런데 이 민주주의는 조선이라는 사회에서 자생적으로 만들어진 것이다. 따라서 민주주의란 사회가 효율적으로 발전하는데 필수적인 과정이라고 볼 수 있다.
사실 민주주의처럼 거창한 것이 아닐지라도 사소한 요리에서도 어떤 고차원 함수를 볼 수가 있다. 예를 들어, 이탈리아 요리책이나 한식을 보았을 때도 모든 요리의 과정은 5개 이상의 과정을 넘지 않는다. 즉 어떤 요리의 재료가 있을 때 이들의 차원을 각각 1차원이라고 가정한다. 그리고 튀기든지 삶든지 하면서 차원이 한 단계씩 올라간다고 가정할 때 이들의 차원을 다 더하면 9,10,11을 넘지가 않았다. 만약 여기서 넘어가면 음식에 대한 맛이 너무 복잡해지는 것이다.
그런데 여기서 재료 하나하나가 사실 고차원 함수다. 예를 들어, 술 같은 경우 이는 발효라는 화학적 반응을 오래 줌으로써 가능한데 술의 원재료가 쌀이라는 고차원 함수라는 점에서 술의 차원은 매우 높다고 볼 수 있다. 그런데 이 재료의 함수를 올리면 올릴수록 전체 음식의 맛은 더 맛있어지는 경향이 있었다.
이처럼 우리 주변은 유기체이고 이를 인식했을 때 훨씬 쉽게 다가갈 수 있다는 것을 알 수 있다. 마지막으로 기계론적 사고관의 한계에 대해 지적하겠다. 기계론적 사고는 원인이 결과를 만든다는 저차원적 사고이다. 또한 마치 수학 함수에 수를 넣으면 결과가 나오듯이 이 세상도 하나의 기계처럼 움직인다는 것이 기계론적 사고라고 할 수 있다. 여기서 기계론적 사고의 문제는 확률론을 배제한다는 것이다. 즉 1이면 1 2면 2 정확한 숫자를 집어넣으면 정확한 답이 나온다는 것이다.
그런데 기계론적 사고관은 다음 3가지 문제를 해결하지 못한다. 0의 unit을 정의하시오. 무한대의 거리를 정의하시오. 선 위에 나누어지지 않는 하나의 점을 정의하시오. 첫 번째 0의 unit을 정의하는 것은 사실 기계론적 사고에서는 불가능하다. 또한 0unit을 정의한다면 양자역학을 기계론적 사고로 풀 수도 있게 된다. 양자역학은 미시적인 세계를 보는 학문으로 단순히 환경을 조금 바꿈으로써 결과를 바꿀 수 있다는 일종의 확률론적 학문이다. 그런데 고차원 함수에서 양자역학을 바라보면 양자의 함수는 절대 우리가 사는 세계의 함수보다 고차원이 아니다. 양자역학에서는 양자의 함수를 10차원으로 보고 초끈이론에서는 20차원으로 보는데 사실 이는 잘못된 접근이라고 볼 수 있다.
고차원과 저차원은 공존이 가능하다. 그런데 일반적으로 저차원보다 고차원이 훨씬 부피가 크다. 또한 저차원에서는 고차원이 발산의 개념이지만 고차원에서는 저차원이 0의 개념이다. 따라서 미시적인 것을 바라보는 양자역학은 우리 세계보다 낮은 세계를 관찰한다고 가정해야 한다. 뿐만 아니라, 3차원에서는 2차원이 0으로 보이고 2차원에서는 1차원이 0으로 보인다. 그런데 0이라는 것은 unit을 정할 수가 없다. 만약 0의 unit을 정하면 그보다 낮은 차원이 존재해야 하기 때문이다. 따라서 0은 우리가 생각하는 고정적인 단위가 될 수 없고 진동하는 존재라고 가정해야 한다. 그런데 양자역학에서의 양자는 대부분이 진동한다. 따라서 양자는 우리보다 한 단계 낮은 차원이 우리 눈에 보이는 것이라고 가정해야 한다.
여기서 양자를 고정적이라고 보고 차원을 높게 생각하는 것은 기계론적 사고관이다. 여기서 양자를 매우 유동적인 것이라고 보고 차원을 낮게 생각하는 것은 확률론적 사고관이라고 볼 수 있다. 예를 들어 증가하는 원을 본다면 이는 3차원이라고 볼 수 있다. 그런데 이 3차원이 구의 꼴을 띌지 정육각형의 꼴을 띌지는 정해지지 않았다. 따라서 이들은 확률적인 존재이고 정해지지 않은 고차원적 각을 갖고 있다고 가정해야 한다. 만약 이들이 어떤 결정적인 존재라고 본다면 이는 0의 unit을 정의했을 때나 가능한 것이고 사실 말이 되지를 않는다.(또한 전자가 회전을 하는데 일정한 방향이 있다고 증명되었다. 이는 이들이 선이라는 의미인데 선의 두께가 0에 가까운 점이므로 우리 눈에 보이지 않는 것이다. 우리의 눈에 보이려면 최소한 면의 단계는 갖고 있어야 한다.)
두 번째로, 선 위에 나누어지지 않은 점을 정의하라고 했다. 그런데 점은 셀 수 있는 점으로 이루어진다. 따라서 이를 정의하는 것은 불가능하고 점은 고차원에서 저차원을 바라보았을 때 보이는 것이라고 볼 수 있는데 따라서 점은 일종의 진동하는 것이라고 볼 수 있다. 그런데 이 점을 하나로 고정시켜서 정의한다면 이는 점의 정의에 벗어나게 된다고 볼 수 있다.
세 번째로, 무한대의 거리를 구하라고 했다. 이는 무한대를 하나의 상수로 나타내라는 말인데 이 역시 불가능하다. 물론 한 단계 고차원 세계에서는 이것이 가능하다. n이 unit으로 나타나기 때문이다. 그러나 고차원 세계를 가정하지 않고는 무한대를 우리가 고정시켜 생각할 수 없다. 따라서 무한대를 속도로 정의하는 것은 가능하되 하나의 고정된 존재라고 가정하는 것은 불가능하다.
마지막으로 점이 왜 진동해야 하는가에 대해 부연설명을 하겠다. 점이란 우리 세계보다 한 차원 낮은 세계의 것이라고 정의할 수 있다. 그런데 한 차원 낮은 세계의 unit들이 발산하면 고차원 세계의 unit이 만들어지는데 역으로 생각하면 고차원 세계의 unit은 발산하는 점으로 이루어진다고 볼 수 있다. 그런데 unit은 고정되어 있고 그 안에서 점은 무수히 증가해야 한다. 따라서 시간에 따라서 그 unit이 증가해야 하는데 사실 그러지는 않는다. 따라서 그 안에 있는 점들이 불안정하다고 가정을 해야 한다. 그리고 불안정하기 위해서는 점이 진동해야 하고 따라서 점은 진동하는 존재라고 가정할 수 있다.
진짜 마지막으로 시간 여행과 공간 이동의 가능성에 대해서 말을 하겠다. 시간은 n의 속력으로 발산하는 존재이고 공간 역시 n으로 발산하는 존재이다. 따라서 이들은 증가하는 선의 개념이라고 볼 수 있다. 그런데 발산한다는 개념은 차원을 한 단계 높이므로 시간은 2차원 공간도 2차원이라고 가정할 수 있다. 그런데 2차원은 입체의 꼴로 나타난다. 그래서 원이 될 수도 있고 정사각형이 될 수도 있다. 그런데 이 2차원의 면이 되는 어떤 그릇을 만들어 준다면 몇만년 전의 과거를 바로 옆에 지나가게 할 수도 있고 몇만년 후의 미래를 바로 옆에 지나가게 할 수도 있다. 또한 공간에서도 몇광년 앞의 공간을 바로 옆에 놓을 수도 있고 더 먼 곳을 바로 옆에 놓을 수도 있다. 따라서 어떤 교수가 책을 썼듯이 불가능이란 없다는 것이 맞다고 볼 수 있다.